數(shù)學(xué)故事|韓信點(diǎn)兵背后的數(shù)學(xué)故事

資料來(lái)源于公眾號(hào)：萬(wàn)物皆數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)故事|韓信點(diǎn)兵背后的數(shù)學(xué)故事

韓信點(diǎn)兵的典故出自《史記》。漢高祖劉邦問(wèn)大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信回答說(shuō)：“陛下你最多能帶十萬(wàn)兵吧！”漢高祖聽(tīng)了不大高興，于是問(wèn)：“那你呢？”韓信非常驕傲地說(shuō)：“我來(lái)點(diǎn)兵，當(dāng)然是多多益善！”劉邦心中更加的不高興了，就想了個(gè)方法為難韓信。

他傳令叫來(lái)一小隊(duì)士兵，讓他們隔著墻在外面列隊(duì)。劉邦發(fā)令三個(gè)人站成一排。不久后，有人進(jìn)來(lái)報(bào)告說(shuō)最后一排只有兩個(gè)人。劉邦又傳令五個(gè)人站成一排。隨后又有人進(jìn)行報(bào)告說(shuō)最后一排只有三個(gè)人。劉邦再次傳令七個(gè)人站成一排。得到報(bào)告說(shuō)最后一排只有兩個(gè)人。

這時(shí)，劉邦望向韓信問(wèn)：“敢問(wèn)將軍，這隊(duì)士兵總共有多少人？”韓信想也沒(méi)想，脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心生殺機(jī)。其實(shí)放在現(xiàn)代，這個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)思想就是：“一個(gè)正整數(shù)，被3除時(shí)余2,被5除時(shí)余3,被7除時(shí)余2,如果這數(shù)不超過(guò)100,求這個(gè)數(shù)

首先找出能被5與7整除而被3除余1的數(shù)70,被3與7整除而被5除余1的數(shù)21,被3與5整除而被7除余1的數(shù)15。

所求數(shù)被3除余2,則取數(shù)70×2=140,140是被5與7整除而被3除余2的數(shù)。

所求數(shù)被5除余3,則取數(shù)21×3=63,63是被3與7整除而被5除余3的數(shù)。

所求數(shù)被7除余2,則取數(shù)15×2=30,30是被3與5整除而被7除余2的數(shù)。

又，140+63+30=233,由于63與30都能被3整除故233與140這兩數(shù)被3除的余數(shù)相同，都是余2.同理233與63這兩數(shù)被5除的余數(shù)相同，都是，233與30被7除的余數(shù)相同，都是2所以233是滿足題目要求的一個(gè)數(shù)。

而3、5、7的最小公倍數(shù)是105,所以233加減105的整數(shù)倍后被3、5、7除的余數(shù)不會(huì)變，從而所得的數(shù)都能滿足題目的要求。由于所求僅是一小隊(duì)士兵的人數(shù)，這意味著人數(shù)不超過(guò)100,所以用233減去105的2倍得23即是所求。

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