高三英語第一輪復習試題30
抽象函數型綜合問題
題型預測
抽象函數型綜合問題，一般通過對函數性質的代數表述，綜合考查學生對于數學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數性質的代數推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關系的認識．可以說，這一類問題，是考查學生能力的較好途徑，因此，在近年的高考中，這一類題目有增多和分量加重的趨勢．
范例選講
例1．定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當時，．
（1）試求的值；
（2）判斷的單調性并證明你的結論；
（3）設，若，試確定的取值范圍．
（4）試舉出一個滿足條件的函數．
講解：（1）在中，令．得：
．
因為，所以，．
（2）要判斷的單調性，可任取，且設．
在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．
由于，所以．
為比較的大小，只需考慮的正負即可．
在中，令，，則得．
∵ 時，，
∴ 當時，．
又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．
∴ ．
∴ 函數在R上單調遞減．
（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子．
，
，即．
由，所以，直線與圓面無公共點．所以，
例2．已知定義在R上的函數滿足：
（1）值域為，且當時，；
（2）對于定義域內任意的實數，均滿足：
試回答下列問題：
（Ⅰ）試求的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數的單調性；
（Ⅲ）若函數存在反函數，求證：．
講解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．
也即：．
由于函數的值域為，所以，，所以．
（Ⅱ）函數的單調性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯想到：是否有
？（＊）
這個問題實際上是：是否成立？
為此，我們首先考慮函數的奇偶性，也即的關系．由于，所以，在中，令，得．
所以，函數為奇函數．故（＊）式成立．
所以，．
任取，且，則，故且．所以，
所以，函數在R上單調遞減．
（Ⅲ）由于函數在R上單調遞減，所以，函數必存在反函數，由原函數與反函數的關系可知：也為奇函數；在上單調遞減；且當時，．
為了證明本題，需要考慮的關系式．
在（＊）式的兩端，同時用作用，得：，
令，則，則上式可改寫為：
．
不難驗證：對于任意的，上式都成立．（根據一一對應）．
這樣，我們就得到了的關系式．這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端．
事實上，由于
抽象函數型綜合問題
題型預測
抽象函數型綜合問題，一般通過對函數性質的代數表述，綜合考查學生對于數學符號語言的理解和接受能力，考查對于函數性質的代數推理和論證能力，考查學生對于一般和特殊關系的認識．可以說，這一類問題，是考查學生能力的較好途徑，因此，在近年的高考中，這一類題目有增多和分量加重的趨勢．
范例選講
例1．定義在R上的函數滿足：對任意實數，總有，且當時，．
（1）試求的值；
（2）判斷的單調性并證明你的結論；
（3）設，若，試確定的取值范圍．
（4）試舉出一個滿足條件的函數．
講解：（1）在中，令．得：
．
因為，所以，．
（2）要判斷的單調性，可任取，且設．
在已知條件中，若取，則已知條件可化為：．
由于，所以．
為比較的大小，只需考慮的正負即可．
在中，令，，則得．
∵ 時，，
∴ 當時，．
又，所以，綜上，可知，對于任意，均有．
∴ ．
∴ 函數在R上單調遞減．
（3）首先利用的單調性，將有關函數值的不等式轉化為不含的式子．
，
，即．
由，所以，直線與圓面無公共點．所以，
例2．已知定義在R上的函數滿足：
（1）值域為，且當時，；
（2）對于定義域內任意的實數，均滿足：
試回答下列問題：
（Ⅰ）試求的值；
（Ⅱ）判斷并證明函數的單調性；
（Ⅲ）若函數存在反函數，求證：．
講解：（Ⅰ）在中，令，則有．即：．
也即：．
由于函數的值域為，所以，，所以．
（Ⅱ）函數的單調性必然涉及到，于是，由已知，我們可以聯想到：是否有
？（＊）
這個問題實際上是：是否成立？
為此，我們首先考慮函數的奇偶性，也即的關系．由于，所以，在中，令，得．
所以，函數為奇函數．故（＊）式成立．
所以，．
任取，且，則，故且．所以，
所以，函數在R上單調遞減．
（Ⅲ）由于函數在R上單調遞減，所以，函數必存在反函數，由原函數與反函數的關系可知：也為奇函數；在上單調遞減；且當時，．
為了證明本題，需要考慮的關系式．
在（＊）式的兩端，同時用作用，得：，
令，則，則上式可改寫為：
．
不難驗證：對于任意的，上式都成立．（根據一一對應）．
這樣，我們就得到了的關系式．這個式子給我們以提示：即可以將寫成的形式，則可通過裂項相消的方法化簡求證式的左端．
事實上，由于
