高三英語第一輪復習試題14
條件開放的探索性問題
題型預測
探索性問題的明顯特征是問題本身具有開放性及問題解決的過程中帶有較強的探索性．對于條件開放的探索性問題，往往采用分析法，從結論和部分已知的條件入手，執果索因，導出所需的條件．另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答．
范例選講
例1．在四棱錐中，四條側棱長都相等，底面是梯形，，．為保證頂點P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需滿足條件___________________（填上你認為正確的一個條件即可）．
講解： 條件給我們以啟示．由于四條側棱長都相等，所以，頂點P在底面上的射影O到梯形四個頂點的距離相等．即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是O．顯然梯形必須為等腰梯形．
再看結論．結論要求這個射影在梯形的外部，事實上，我們只需找出使這個結論成立的一個充分條件即可．
顯然，點B、C應該在過A的直徑AE的同側．不難發現，應該為鈍角三角形．
故當（且AC>BC）時可滿足條件．其余等價的或類似的條件可以隨讀者想象．
例2．老師給出一個函數，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質：
甲：對于，都有；
乙：在上函數遞減；
丙：在上函數遞增；
丁：不是函數的最小值．
如果其中恰有三個人說得正確，請寫出一個這樣的函數：____________．
講解：首先看甲的話，所謂“對于，都有”，其含義即為：函數的圖像關于直線對稱．數形結合，不難發現：甲與丙的話相矛盾．（在對稱軸的兩側，函數的單調性相反）
因此，我們只需選擇滿足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）條件的函數即可．
如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數，則需要認識到：所謂函數在上單調遞減，并不是說函數的單調遞減區間只有．考慮到關于直線的對稱性，我們不妨構造函數，使之在上單調遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質．如即可．
如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數，則分段函數是必然的選擇．如．
例3．對任意函數，，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①
輸入數據，經數列發生器輸出；
②
若，則數列發生器結束工作；若，則將反饋回輸入端，再輸出，并依此規律繼續下去．
現定義．
（Ⅰ）若輸入，則由數列發生器產生數列．請寫出數列的所有項；
（Ⅱ）若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據的值；
（Ⅲ）若輸入時，產生的無窮數列滿足：對任意正整數n，均有，求的取值范圍．
（Ⅳ）是否存在，當輸入數據時，該數列發生器產生一個各項均為負數的的無窮數列．
講解：（Ⅰ）對于函數，．
若，代入計算可得：，
故產生的數列只有三項．
（Ⅱ）要使數列發生器產生一個無窮的常數數列，實際上是對于任意的正整數，都應該有．又．所以，只需令．
解得：．
由于題目實際上只要求找到產生“無窮常數數列”的一個充分條件，所以，令（或2）即可．此時必有＝1（或2）．
事實上，相對于本題來講，（或2）是產生“無窮常數數列”的充要條件（這是因為函數是一一對應）．如果把函數換成，請讀者思考：有多少個滿足條件的初值？
（Ⅲ）要使得對任意正整數n，均有，我們不妨先探索上述結論成立的一個必要條件．即．
事實上，不等式的解為或．（＊）
所以，或．
下面我們來研究這個條件是否充分．
當時，，所以，雖然有，但此時，顯然不符合題意．
當時，由上可知：，且不難求得，以此類推，可知，必有：對任意正整數n，均有成立．
綜上所述，．由及（＊），不難得知：的取值范圍為．
（Ⅳ）要求使得成立的初值．實質上是執果索因．令，則由不難解得．
又由，可解得：．
由此我們知道，如果，則必有．即與不可能同時小于0．
條件開放的探索性問題
題型預測
探索性問題的明顯特征是問題本身具有開放性及問題解決的過程中帶有較強的探索性．對于條件開放的探索性問題，往往采用分析法，從結論和部分已知的條件入手，執果索因，導出所需的條件．另外，需要注意的是，這一類問題所要求的往往是問題的充分條件，而不一定是充要條件，因此，直覺聯想、較好的洞察力都將有助于這一類問題的解答．
范例選講
例1．在四棱錐中，四條側棱長都相等，底面是梯形，，．為保證頂點P在底面所在平面上的射影O在梯形的外部，那么梯形需滿足條件___________________（填上你認為正確的一個條件即可）．
講解： 條件給我們以啟示．由于四條側棱長都相等，所以，頂點P在底面上的射影O到梯形四個頂點的距離相等．即梯形有外接圓，且外接圓的圓心就是O．顯然梯形必須為等腰梯形．
再看結論．結論要求這個射影在梯形的外部，事實上，我們只需找出使這個結論成立的一個充分條件即可．
顯然，點B、C應該在過A的直徑AE的同側．不難發現，應該為鈍角三角形．
故當（且AC>BC）時可滿足條件．其余等價的或類似的條件可以隨讀者想象．
例2．老師給出一個函數，四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質：
甲：對于，都有；
乙：在上函數遞減；
丙：在上函數遞增；
丁：不是函數的最小值．
如果其中恰有三個人說得正確，請寫出一個這樣的函數：____________．
講解：首先看甲的話，所謂“對于，都有”，其含義即為：函數的圖像關于直線對稱．數形結合，不難發現：甲與丙的話相矛盾．（在對稱軸的兩側，函數的單調性相反）
因此，我們只需選擇滿足甲、乙、丁（或乙、丙、丁）條件的函數即可．
如果我們希望找到滿足甲、乙、丁條件的函數，則需要認識到：所謂函數在上單調遞減，并不是說函數的單調遞減區間只有．考慮到關于直線的對稱性，我們不妨構造函數，使之在上單調遞減，這樣，既不與乙的話矛盾，也滿足丁所說的性質．如即可．
如果希望找到滿足乙、丙、丁條件的函數，則分段函數是必然的選擇．如．
例3．對任意函數，，可按圖示構造一個數列發生器，其工作原理如下：
①
輸入數據，經數列發生器輸出；
②
若，則數列發生器結束工作；若，則將反饋回輸入端，再輸出，并依此規律繼續下去．
現定義．
（Ⅰ）若輸入，則由數列發生器產生數列．請寫出數列的所有項；
（Ⅱ）若要數列發生器產生一個無窮的常數數列，試求輸入的初始數據的值；
（Ⅲ）若輸入時，產生的無窮數列滿足：對任意正整數n，均有，求的取值范圍．
（Ⅳ）是否存在，當輸入數據時，該數列發生器產生一個各項均為負數的的無窮數列．
講解：（Ⅰ）對于函數，．
若，代入計算可得：，
故產生的數列只有三項．
（Ⅱ）要使數列發生器產生一個無窮的常數數列，實際上是對于任意的正整數，都應該有．又．所以，只需令．
解得：．
由于題目實際上只要求找到產生“無窮常數數列”的一個充分條件，所以，令（或2）即可．此時必有＝1（或2）．
事實上，相對于本題來講，（或2）是產生“無窮常數數列”的充要條件（這是因為函數是一一對應）．如果把函數換成，請讀者思考：有多少個滿足條件的初值？
（Ⅲ）要使得對任意正整數n，均有，我們不妨先探索上述結論成立的一個必要條件．即．
事實上，不等式的解為或．（＊）
所以，或．
下面我們來研究這個條件是否充分．
當時，，所以，雖然有，但此時，顯然不符合題意．
當時，由上可知：，且不難求得，以此類推，可知，必有：對任意正整數n，均有成立．
綜上所述，．由及（＊），不難得知：的取值范圍為．
（Ⅳ）要求使得成立的初值．實質上是執果索因．令，則由不難解得．
又由，可解得：．
由此我們知道，如果，則必有．即與不可能同時小于0．
